点和线咋让欧几里得给搞得这么混乱

有人说，欧几里德留给世界的是两句话、一本书。他的那两句话，我前面已经评论过，现在看看他的这本书。自然，这本书就是大名鼎鼎的《原本》，据说翻译的时候，徐光启和利玛窦在“原本”之前添加了“几何”二字，所以该书后来就称为《几何原本》。

先看点。欧几里得说：“点不可以再分割成部分。”

〔讨论〕这是承认点是一种量、度量的存在，只是它是一种最小的存在，它不像比点大的那些东西，那些东西可以分割成比它们自己更小的部分。这个定义告诉我们，那些东西分割到“点”这么大的时候，就不能继续往下分割了。

通常人们分割一个东西是纵向的，如用菜刀切断一根胡萝卜；也有横向的，如切胡萝卜丝。简单说，点可以理解为是纵向上和横向上的最小单位，它是最小的不为零的长度和宽度。但它不是没有长度和宽度。一个既没有长度也没有宽度的东西，它是没有边界的，也就是没有位置的，我们无从知道它在哪里。

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次看线。欧几里得说：“线是没有宽度的长度。”

〔讨论〕一个东西没有宽度，参照上述切胡萝卜丝，也就是他要求切出来的胡萝卜丝是非常细、非常细，细到不能有宽度，或者说宽度为零。但宽度为零的胡萝卜丝，就是有刨丁之刀工，如何下手？只能是以不切切之，切出来的胡萝卜丝方才符合要求。但这样切出来的胡萝卜丝因为它没有宽度，所以它的长度也无从谈起。没有宽度就是宽度为零，它在宽度上就是没有边界的，无法知晓它的长度。换言之，没有宽度谈何长度。

再看点和线的关系。欧几里得说:“线的两端是点。”

〔讨论〕点和线当然关系密切，但是就欧几里得上述几个定义来看，他的点线是不匹配的，满满的违和感。

本来，点已经是最小单位，不能再分割，那么，线和点一般粗也就是了。

但是欧几里得又说线没有宽度，也就是在宽度这个度量视角之下，事实上出现了比点更小的存在。这就奇了怪了，你点再小再怎么不能分割，也没有零小。所以，这种线的定义与点的定义严重冲突。

直观点说，欧几里得的线太细了，而点太大了，导致他的“线的两端是点”看起来就像是举重运动员举起的那个杠铃。不，他的点线关系比杠铃的形象还要夸张，他的运动员举起的杠铃是没有杠，只有两个铃！

看着欧几里得的这个线的定义，我不禁在想，要给他的线找个合适模型还真心不容易。但幸亏我也像很多朋友一样，看过或者听说过皇帝新衣的故事。对对对，就是它了，他的线就是皇帝新衣故事里面那两个骗子人模狗样制作衣服的丝线，你看不到是因为你笨，我等聪明人可是都能看得到的！

再看看直线。欧几里得说：“直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺。”

〔讨论〕前面讨论过，欧几里得的点不是没有宽度、长度，是有宽度和长度的，只不过它的宽度和长度是最小的，到此已不能再继续分割成部分。那么，把这种点平铺，从长度方面去看，是会得到线，这是自然的，毫无疑问；但同时，这样平铺得到的线，它也会自带点所具有的宽度，成为线宽。那么问题来了，这样的线，显然并不是定义I.2所要求的线，定义I.2：线是无宽度的长度。

欧几里得定义线的时候，那个线是没有宽度的，但他后面给出线的生成方式，用他这个点生出来的线，却又明显是条有宽度的线！线到底是没有宽度，还是有宽度？一笔糊涂账嘛。

都说欧几里得逻辑好，但看上面他把点和线稿得这么混乱，真不知他的逻辑好在哪里。